آموزش دیفرانسی به زبان ساده

آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده

دسته بندی : تحصیلی
1399/10/23

آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده: بر خلاف باور عموم، معادلات دیفرانسیل هیولای حل نشدنی ای نیست؛ اگر شما هم جز افرادی هستید که از آن هیولایی ساخته اید و عبارت آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده را سرچ کرده اید، پیشنهاد میکنم تا پایان این مطلب همراه با برتر آموز باشید. ابتدا مقدمه ای از این علم را برایتان میگویم و بعد به آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده خواهم پرداخت؛ یعنی در واقع به شما راه کار هایی میگویم تا بتوانید این علم شیرین را به راحتی بیاموزید. اگر هم در ذهنتان این است که خب این معادلات به چه دردی میخورد پیشنهاد میکنم بخش کاربرد معادلات دیفرانسیل در علوم دیگر را حتما مطالعه کنید.

معادلات دیفرانسیل چیست؟

قاعدتا باید قبل از شروع این مقاله، اول بررسی کنیم که آنچه می خواهیم در مورد آن صحبت کنیم چه مفهومی دارد؟!

بیش از ۳۰۰ سال است که آنالیز و هندسه توانا ترین شاخه ریاضیات بوده و معادلات دیفرانسیل بخش وسیعی از آن است؛ هدف از مطالعه روی معادلات دیفرانسیل درک عمیق حساب دیفرانسیل و انتگرال و مشاهده کاربرد های آن در علوم طبیعی و کاربردی است.

به عبارت دقیق ‌تر علم معادلات دیفرانسیل یک پل ارتباطی بین ریاضیات محض و علوم فیزیکی و مهندسی است و در تبدیل تئوری به کاربرد، نقش مهمی را بازی می کند. بنابراین ما خواهیم توانست، انواع محاسبات را انجام دهیم، از هر پدیده‌ ای نموداری به منظور توصیف آن تهیه کنیم و حتی قادر خواهیم بود آینده را پیش بینی کنیم!

پس به صورت خلاصه معادلات دیفرانسیل معادلاتی هستند که از رابطه‌ی میان توابع، مشتقات و متغیرهای مستقل آن توابع تشکیل شده اند.
همان طور که پیش تر به آن اشاره کردیم معادلات دیفرانسیل در علوم دیگر نیز به کار گرفته می شود. بسیاری از قوانین فیزیکی طبیعی و مدل های ریاضی آن ها در قالب یک معادله دیفرانسیل می توانند بیان شوند؛ مدل بررسی مسائلی مانند: رشد و تلاش، تعیین شدت جریان و یا بار ذخیره شده در مدار های الکتریکی، موازنه کردن محلول ها در مباحث شیمی، فنر های موازی و متوالی، تعیین مکان متحرک وقتی که معادله سرعت آن معلوم است و… در قالب معادله دیفرانسیل ظاهر می شوند.
علم معادلات دیفرانسیل در تحصیلات دانشگاهی، برای تعداد زیادی از رشته های مهندسی به عنوان یک واحد درسی جداگانه و پر اهمیت تدریس می شود؛ یادگیری معادلات دیفرانسیل محصلان را برای واحد های درسی پیش رو آماده می کند. پس همانطور که معادلات دیفرانسیل یک علم مستقل است، علمی است که در بسیاری از علوم دیگر نیز استفاده می شود.
منبع: کتاب معادلات دیفرانسیل و کاربرد های آن؛ با تالیف: دکتر ایوب غریب خواجه .

انواع معادلات دیفرانسیل

در این بخش از آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده انواع معادلات دیفرانسیل را معرفی کرده و در مورد آنها توضیح خواهیم داد.
معادلات دیفرانسیل در دو حالت معادله دیفرانسیل معمولی (O.D.E) و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (P.D.E) مورد مطالعه قرار می‌گیرند.
معادلات دیفرانسیل معمولی: معادلاتی که در آنها یک متغیر مستقل مانند x و یک تابع مانند y و حداقل یک مشتق معمولی از y موجود باشد یک معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود.
معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی: اگر در معادله یک تابع چند متغیره مانند u با متغیرهای مستقل مانند x و y و… و مشتقات جزئی این تابع نیز در حالت خاصی در این تابع موجود باشند معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی نامیده می‌ شود.
این دو دسته بندی های کلی معادلات دیفرانسیل بودند که در دل هر کدام از آن ها انواع دیگری نیز وجود دارد؛ مختصرا به تعدادی از آن ها اشاره خواهم کرد.
  1. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول همگن
  2. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول کامل
  3. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول غیر کامل
  4. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول خطی
  5. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول غیر خطی
  6. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول برنولی
  7. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول ریکاتی
  8. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول کلرو و لاگرانژ
  9. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالا تر با ضرایب ثابت همگن
  10. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر تر با ضرایب ثابت و غیر همگن
  11. و…

تاریخچه معادلات دیفرانسیل

آموزش دیفرانسیل به زبان ساده

معادلات دیفرانسیل برای اولین بار با اختراع حساب توسط نیوتن و گوتفرید لایبنیتس به وجود آمد. این دو دانشمند به طور همزمان اما مستقل این علم را کشف نمودند. نیوتون در نوشته هایش که مربوط به کتاب «Method of Fluxions» است سه معادله دیفرانسیل را آورده است. او نوشتن این کتاب را در سال 1671 به پایان رساند و در سال 1736 این اثر منتشر شد. افراد زیادی در آن سال ها در مورد آنکه معادلاتی که توسط نیوتون مکتوب شده بودند بحث می کردند؛ موضوع مورد بحث آن ها بیشتر حول محور آن میگشت که این معادلات راه حل مشخصی ندارند و از راه های متعددی می توان آن ها را حل کرد، پس از نیوتون و در سال 1695 جیکوب برنولی معادله ای را معرفی کرد که امروزه آن را به عنوان معادله ای از معادلات دیفرانسیل معمولی میشناسیم و نام این معادله نام خود این دانشمند می باشد.

دانشمندانی همچون لاگرانژ، اویلر، دالامبر و برنولی روی ارتعاشات سیم های ساز های موسیقی مطالعه میکردند، سر انجام در سال 1746 ژان لو رون دالامبر یک معادله برای امواج بدست آورد و پس از او اویلر معادله ای سه بعدی برای امواج کشف نمود. این معادلات دیفرانسیل از نوع معادلات مشتق جزئی و همگن بودند.

کاربرد معادلات دیفرانسیل در علوم دیگر

در تعریف معادلات دیفرانسیل مختصرا اشاره کردیم که از معادلات دیفرانسیل برای چه کارهایی در علوم دیگر استفاده میشود؛ اکنون می خواهم در این بخش از مقاله آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده، برای آن که بدانید این علم دقیقا در کجا و چگونه استفاده شده است، معادلات دیفرانسیل مشهوری را که در علوم دیگر به کار گرفته شده اند معرفی کنم.

  • معادله شرودینگر در مکانیک کوانتوم
  • معادلات ناویه-استوکس در دینامیک شاره‌ ها
  • معادلات کوشی-ریمان در آنالیز مختلط
  • معادله پواسون-بولتزمن در دینامیک ملکولی
  • قانون دوم نیوتن در دینامیک (مکانیک)
  • معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک
  • واپاشی هسته‌ ای در فیزیک هسته‌ای
  • معادلات ماکسول در الکترومغناطیس
  • معادله موج برای تار مرتعش.
  • نوسانگر همساز در مکانیک کوانتومی

مسائلی که با معادلات دیفرانسیل میتوان نتایج آن ها را پیش بینی کرد:

  •  پیش بینی زمان لازم برای انجام یک واکنش شیمیایی
  • تخمین میزان غلظت یک محلول بعد از زمانی مشخص
  •  محاسبه تقریبی قدمت یک اثر تاریخی
  • تخمین زمان به قتل رسیدن شخص با توجه به دمای فعلی جسد و دمای محیط پیرامون در پزشکی قانونی
  • پیش بینی وضعیت هوا با حل معادلات دیفرانسیل مربوط به تغییرات جوی
  •  پیش بینی تغییرات جمعیت یک گونه جانوری با حل معادلات دیفرانسیل شکار و شکارچی
  • محاسبه زمان لازم برای جذب یک دارو با حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم پخش
  • مدل سازی میزان رشد سلول های سرطانی و پیش بینی تغییرات سلول ها
  • یافتن استراتژی های بهینه ای برای سرمایه گذاری در بورس
  • طراحی نرم افزار های مهندسی عمران مربوط به تحلیل سازه ها با استفاده از حل معادلات دیفرانسیل مربوط به خمش صفحات و تیرها
  • محاسبات دسته منحنی های هم زاویه با حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده:

آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده

راه کار های مطالعه معادلات دیفرانسیل:

با گشتی کوتاه در اینترنت جزوات بسیار زیادی از آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده را خواهید یافت؛ کافیست سرچ کنید آموزش معادلات دیفرانسیل pdf!
هر کدام از این جزوات روشی را برای آموزش معادلات دیفرانسیل پیش گرفته اند و ترتیب خاصی را برای آموزش مطالب انتخاب کرده اند. اما در تمامی آن ها لحظه ای که شما نگاه کوتاهی به آن می اندازید هیچ چیز بجز معادلات طولانی و پیچیده نخواهید دید و این دقیقا همان چیزی است که باعث می شود افراد برای یادگیری این درس دچار وحشت شده و به سمت آن کتاب ها و جزوات نروند؛ اما باید این را به شما بگوییم که هر چقدر سرچ کنید و هر چند تا جزوه برای آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده که دانلود کنید تفاوتی نخواهد داشت و در نهایت محتوای تمامی آن ها یکی است و شما باید به هر حال تمام آن را بخوانید. اگر در فهمیدن مسائل آن دچار مشکل هستید پیشهاد میکنم پیش از خواندن جزوات و کتاب ها، فیلم های آموزش حل معادلات دیفرانسیل را در اینترنت پیدا کنید و ببینید یا اینکه یک استاد معادلات دیفرانسیل بگیرید تا مطالب را برای شما توضیح دهد، و پس از آن اقدام به مطالعه کنید.
آنچه در این قسمت قصد دارم به شما بگویم راه کار هایی برای یادگیری و تثبیت مطالب آن در ذهن شما است. البته ناگفته نماند که شاید برای هرکسی این روش پاسخ گو نباشد، ولی این روش، روشی است که در مطالعات بسیاری از دروس پیشنهاد می شود و عموما موثر است. اگر شما روش دیگری را استفاده میکنید حتما در بخش نظرات آن را بنویسید تا افراد دیگری که این روش ممکن است برای آن ها کارساز نباشد از آن بهره ببرند.
این روش ده قدمی برای من که بسیار کار ساز بود و در اولین بار درس معادلات دیفرانسیل دانشگاهی را با نمره ی بسیار خوبی پاس کردم:) به همین خاطر آن را با شما نیز به اشتراک میگذارم.
قدم اول: یکی از جزوات یا کتاب های موجود را انتخاب کنید؛ فرقی ندارد کدام جزوه یا کدام کتاب، فقط مطمئن باشید که بخش کاربرد های معادلات دیفرانسیل آن با اهداف شما همخوانی داشته و با موضوع مورد مطالعه شما مرتبط باشد.
قدم دوم: فهرست این جزوه را مطالعه کنید و دسته بندی مطالبش را بررسی کنید.
قدم سوم: یک دفتر بردارید و اولین عنوان فهرست را روی آن بنویسید.مثلا:
قدم چهارم: از مطالب موجود در هر موضوع خلاصه برداری کنید.
قدم پنجم: نوع معادلاتی را که در حال مطالعه ی آن هستید حتما با رنگ دیگری کنار آن بنویسید. به طور مثال تیتر بزنید: حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم
قدم ششم: به آخر دفتر بروید و هر فرمول جدیدی که می بینید را به همراه نوع آن و مختصری از راه حل آن در کنارش بنویسید، دسته بندی شده و تمیز؛ همچنین هر اطلاعات دیگری که نیاز است در مورد آن فرمول به خاطر بسپارید را کنارش بنویسید. مانند کاربرد و روش حل و …
قدم هفتم: به هر فرمولی که میرسید حتما از آن سه مثالی که جواب های آن را دارید حل کنید. به این صورت:
مثال اول: ابتدا سوال و پاسخ مطالعه کنید، درکش کنید و سپس در حالیکه راه حل پیش روی شماست آن را حل کنید.
مثال دوم: سوال را بخوانید، پاسخ را مطالعه کنید، و بدون آن که به هیچ منبعی مراجعه کنید سعی کنید که حلش نمایید.
مثال سوم: سوال را بخوانید و بدون خواندن پاسخش آن را حل کنید. اشکالات خود را بیابید، اگر اشکالات شما در انتخاب فرمول و یا روند حل بود حتما چند مثال دیگر حل کنید.
قدم هشتم: پس از حل معادلات دیفرانسیل مثال هایی که انتخاب کرده اید، از هر نوع مسئله ای که حل کرده اید و در پاسخ آن ها از فرمول های مختلف استفاده شده است، یک مسئله را انتخاب کنید، روی یک کاغذ بنویسید و آن را کنار بگذارید.
قدم نهم: وقتی مطمئن شدید که تمامی انواع را خوانده و تمرین کرده اید به برگه ی سوالات مراجعه کنید؛ آن ها را حل کنید، اگر در هنگام حل کردن نیاز داشتید که به فرمول های آخر دفتر مراجعه کنید، اجازه دارید که این کار را انجام دهید ولی کنار آن سوالات یک علامت بزنید.
قدم دهم: پس از پایان سوالات، سوالات علامت دار را پیدا کنید و مثال هایی مشابه با آن را چندین بار حل کنید.

کاملا درست است که روش بالا زمانگیر است اما مطمئن باشید که این روش ارزش زمان گذاشتن را دارد، چرا که به صورت تضمینی معادلات دیفرانسیل را در ذهن شما حک میکند. برای تثبیت اطلاعات فرمول ها را یک دور مرور کنید و قدم های هشت، نه و ده را چندین بار تکرار نمایید. برای آن که زمان کمتری صرف مطالعه ی ان کنید هم میتوانید از تکنیک های تندخوانی استفاده کنید.

اگر دغدغه ی شما مطالعه و یادگیری این مبحث نیست و تنها نیاز به حل معادلات دیفرانسیل کوچکی که در حین کار به آن بر خورده اید دارید دو راه پیش روی شماست، یکی آن که از نرم افزارهای حل معادلات دیفرانسیل استفاده کنید که باید توجه داشته باشید ممکن است نرم افزار ها دچار خطا شوند و پیش از دانلود کردن نرم افزار حتما موقع جست و جو آنچه میخواهید را کامل سرچ کنید، به طور مثال: نرم افزار حل معادلات دیفرانسیل همگن؛ و راه دوم آن است که از حل معادلات دیفرانسیل آنلاین استفاده کنید.

نویسنده : لیلا نیکان

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.