روش محاسبه محیط مربع + مثال حل شده

محیط مربع: تا کنون در برتر آموز در مورد محیط و مساحت اشکالی همچون مثلث، دایره، کره، مستطیل و… صحبت کردیم، امروز نیز میخواهیم شکل هندسی مربع را مورد بررسی قرار بدهیم و محاسبه ی محیط آن را باهم یاد بگیریم؛ به منظور ارائه شیوه محاسبه محیط این شکل هندسی لازم است، در ابتدا مربع و ویژگی های آن شناخته شود. به همین دلیل، در این محتوا ابتدا اطلاعاتی درباره مربع را بررسی کرده و پس از آن تمامی خاصیت های یک مربع که میتواند شیوه های مختلفی برای محاسبه محیط مربع را ارائه کند، تعریف میکنیم، همچنین در ادامه تعریف هر ویژگی، فرمول محاسبه محیط مربع با استفاده از آن ویژگی را نیز بررسی میکنیم؛ با ما همراه باشید.

تعریف چهار ضلعی

پیش از تعریف مربع بهتر است ابتدا بدانیم که چهار ضلعی ها کدامند و چه ویژگی هایی دارند؟

خطوطی که یک شکل را می سازند و دو راس را به هم وصل می کنند را ضلع می نامند که تعداد اضلاع در شکل های هندسی مختلف، متفاوت است. چهار ضلعی (quadrilateral)، یک شکل هندسی است که از چهار راس و چهار ضلع تشکیل شده است. ویژگی مهمی که در تمامی چهارضلعی ها مشترک است این است کخ مجموع زوایای داخلی همه ی آن ها 360 درجه میباشد. از چهارضلعی های معروف میتوان به مربع، مستطیل، لوزی، متوازی الاضلاع و ذوزنقه اشاره کرد.

مربع چیست؟ (تعریف هندسی رایج)

مربع یک چهار ضلعی است که تمام زوایای داخلی آن 90 درجه هستند. در کل، همچون تمامی چهار ضلعی های دیگر، مجموع زوایای داخلی آن 360 درجه است. اضلاع مقابل در یک مربع با یکدیگر موازی هستند. هر مربع دارای 4 خط تقارن است (اگر شکلي را از وسط تا کنیم طوری که تمامي زوايای آن شکل بر هم منطبق شوند، محل تا شدگي را خط تقارن نامند). در شکل زیر یک مربع، زوایای داخلی آن و رئوس مربع نشان داده شده است. در این شکل دو ضلع a و b با یکدیگر و دو ضلع  cو d با یکدیگر موازی هستند.

a||b , c||d

a=b=c=d

چهار تعریف مختلف مربع

• مربع یک خم بسته ‌است. این خم، دارای چهار ضلع است. همه این ضلع‌ ها با هم برابرند و با یکدیگر دو به دو زاویه ۹۰ درجه می‌سازند.
• یک متوازی‌الأضلاع با یک زاویه راست و دو ضلع مجاور برابر(درهندسه و مثلثات یک زاویه راست همان  قائمه یا 90 درجه است).
• مستطیلی که ضلع‌های مجاورش اندازه  برابر داشته باشند را مربع می نامند.
• لوزی با چهار زاویه برابر را مربع می نامند.
• مربع لوزی است که یک زاویه آن قائمه باشد.
• مربع به تعداد اضلاعش محور تقارن دارد، پس مربع یک شکل منتظم است و تمام خصوصیات چند ضلعی منتظم را داراست.

قطر مربع چیست ؟

پاره‌خطی که دو رأس مقابل مربع را به هم متصل می‌کند قطر می نامند. از آنجا که مربع چهار رأس دارد، هر مربع دارای دو قطر است که در مرکز مربع همدیگر را قطع می کنند. اندازه قطرهای مربع همیشه از ضلع های آن بیشتر است. قطرهای مربع با یکدیگر برابر هستند و یکدیگر را با زاویه 90 درجه قطع می‌کنند. هر قطر مربع آن را به دو مثلث متساوی‌الساقین مشابه تقسیم می‌کند. در شکل زیر پاره خط های e و f دو قطر مربع هستند که زاویه بین آن ها 90 درجه است و در مرکز مربع یکدیگر را نصف کرده اند. قطرهای مربع، نيم ساز زاويه ها هستند (نیم ساز: نیم خطي است که زاويه را به دو قسمت مساوی تقسیم مي کند). به این معنی که، قطرهای مربع هرزاویه ی ۹۰ درجه را به دو زاویه ۴۵ درجه تبدیل می کند، در نتیجه در مربع هشت زاویه ی ۴۵ درجه خواهیم داشت.

تعریف محیط در شکل های هندسی

به اندازه دور یک شکل محیط گفته می شود. به عبارت دیگر، اندازه مسیری که دور تا دور شکل را می پیماید محیط آن شکل می گویند. اگر یک زمین بازی مربعی وجود داشته باشد، محیط آن برابر طول طنابی خواهد بود که دور تا دور زمین و بر روی اضلاع آن کشیده شده است. برای بدست آوردن محیط هر گونه شکل هندسی باید طول تمام اضلاع آن را با هم جمع کرد.

تعریف محیط مربع با شکل  

در صورتی که هر چهار ضلع مربع را یکدیگر جمع کنیم محیط آن بدست می آید. در شکل زیر محیط مربع برابر برابر 80 است.

فرمول نحوه محاسبه محیط در شکل زیر با کمک اضلاع:

80=A+B+C+D

با توجه به اینکه در هر مربع اندازه 4 ضلع با هم برابرند، به جای جمع تک تک ضلع ها میتوان اندازه یک ضلع را در چهار ضرب نمود. در اینصورت اگر مربعی با اندازه هر ضلع برابر A داشته باشیم محیط  آن برابر با حاصلضرب 4 در مقدار  A خواهد بود.

با توجه به شکل زیر میتوان با تعریف متغیر های زیر فرمول محیط مربع را تعریف کرد:

P= A * 4

مساحت مربع

تعریف مساحت

اندازه سطح یک شکل هندسی را مساحت آن می گویند.

تعریف مساحت مربع:

اگر اندازه اضلاع مربع برابر A  باشد مساحت آن برابر A به توان عدد 2 می باشد ( مساحت مربع با ضلع A²=A). به عبارت دیگر، حاصلضرب یک ضلع مربع در خودش برابر مساحت مربع است.

تعریف محیط مربع با استفاده از مساحت آن

با توجه به تعریف مساحت که در بالا آمده است، اگر مساحت مربعی برابر S باشد برای محاسبه محیط کافی است جذر مساحت را بدست آورید، عبارت زیر طول هر ضلع را به شما خواهد داد :

و پس از آن از فرمول محیط مربع با استفاده از اضلاع استفاده کنید.

به عنوان مثال اگر بدانیم مساحت مربعی(S)، برابر 64 است، برای محاسبه محیط آن به صورت زیر عمل میکنیم.

اگر قطر مربع برابر A باشد، برای بدست آوردن محیط باید مقدار A را در عدد 2√2 نمود. و اگر 2√ را 1/41 در نظر بگیریم  در نتیجه محیط مربعی با قطر A برابر است با:

A* 2/82

مکعب چیست؟

 Cubeیا مکعب یک شکل هندسی سه بعدی که در ساخت آن از مربع استفاده شده است (به بیان دیگر، مکعب حجمي است که از شش وجه مربع شکل درست شده است). فلذا ممکن است گاهی برای محاسبه محیط یک مربع لازم باشد از محاسبات مربوط به مکعب استفاده نماییم.  در واقع مکعب یا مکعب مربع، یک شکل سه بعدی است که از ۶ مربع تشکیل شده است. تمامی مربع های تشکیل دهنده مکعب با یکدیگر برابر هستند. در مکعب، هر ضلع در هرکدام از مربع‌ها فقط با یک مربع دیگر مشترک است و در رأس‌ها سه مربع با یکدیگر در ارتباط هستند. مساحت گسترده مکعب مساوی است با (ضلع×ضلع)×۶. فلذا، میتوان اینطور استنباط نمود که با داشتن مقدار مساحت یک مکعب امکان بدست آورن محیط هر یک از مربع های سازنده مکعب، از طریق محاسبه اندازه ضلع در هر یک از 6 مربع مذکور وجود دارد. در واقع مسئله تبدیل به همان رابطه محاسبه محیط مربع با استفاده از اضلاع خواهد شد.

به عنوان مثال در شکل زیر مکعبی با مساحت 150 داریم. برای محاسبه محیط مربع های بکار رفته در ساخت این مکعب ابتدا مساحت آن را بر 6 تقسیم میکنیم. عدد حاصل برابر 25 می باشد که در واقع توان دوم اندازه هر ضلع در مربع است. لذا مقدار هر ضلع برابر 5 می باشد. در نهایت با استفاده از فرمول محیط مربع با استفاده از اضلاع (محیط=4×اندازه هر ضلع)، محیط هر یک از 6 مربع برابر 4×5=20 خواهد بود.

چند مثال کاربردی درباره نحوه محاسبه محیط مربع (همراه با راه حل)

• مثال1:  استخری به مساحت 625 متر مربع را در نظر بگیرید، قصد داریم محیط این استخر را بدست آوریم.

برای محاسبه محیط این استخر ابتدا جذر مساحت آن را بدست می آوریم. عدد بدست آمده برابر طول هر ضلع این مربع است. در ادامه برای محاسبه محیط استخر، طول هر ضلع در عدد 4 ضرب می شود.

مساحت استخر=625 متر مربع

مساحت مربع = طول هر ضلع ²

625=  طول هر ضلع ²

25= طول هر ضلع

محیط = 4× طول هر ضلع

محیط استخر= 4×25=100

• مثال2: میزی مربع شکل که هر لبه آن 17 سانتی متر است در گوشه اتاقی مربع شکل با مساحت 36 متر مربع قرار دارد. میخواهیم بدانیم محیط میز و محیط اتاق هر کدام چند متر است؟

ابتدا محیط میز را محاسبه میکنیم. با توجه به اینکه سطح میز مربع شکل است پس تمام اضلاع آن برابرند. محیط مربع برابر حاصلضرب هر ضلع در عدد 4 است. بنابراین

محیط میز= اندازه هر لبه(ضلع)×4

محیط میز=17×4=68 سانتی متر

در ادامه نحوه محاسبه محیط اتاق آمده است. با توجه به فرمول مساحت مربع( اتاق مربعی شکل است)، میتوان اندازه هر ضلع اتاق را محاسبه نمود.

مساحت مربع= ضلع به توان 2

6= طول ضلع اتاق

از طرفی فرمول محیط مربع برابر است با حاصلضرب طول هر ضلع در عدد 4. بنابراین

محیط اتاق =4×6=24 متر

• مثال 3: یک نمازخانه مکعبی شکل در تهران با مساحت 294 متر مکعب احداث شده است. اندازه محیط کف این نمازخانه چقدر است؟ میدانیم هر مکعب از 6 مربع ایجاد شده است. بنابراین، کف این نمازخانه نیز در واقع یکی از مربع های تشکیل دهنده ساختمان مکعبی شکل آن است. برای محاسبه محیط کف این نمازخانه، فقط کافی است محیط یکی از مربع ها را بدست بیاوریم. با توجه به اینکه محیط مکعب برابر با ( ضلع ²×6 ) می باشد، میتوان از فرمول محیط مربع با استفاده از اضلاع چنین مسائلی را حل کرد.

مساحت مکعب= ضلع ²×6

294= ضلع²×6

49=ضلع ²

7= ضلع

محیط مربع (محیط کف نمازخانه)=4× 7=28 متر

• مثال 4: اگر دو مثلث متساوی الساقین با اندازه هر ساق مساوی 3 سانتی متر داشته باشیم، محیط مربع حاصل از آن چند است؟ با توجه به اینکه هر قطر مربع آن را به دو مثلث متساوی الساقین تقسیم میکند، در اینگونه مسائل میتوان هر ساق مثلث را برابر با یکی از اضلاع مربع در نظر گرفت. بنابر این، در این مسئله اندازه هر ضلع مربع برابر 3 سانتی متر است ( فرمول محیط مربع برابر حاصلضرب اندازه هر ضلع در عدد 4 است).

هر ساق مثلث متساوی الساقین= طول ضلع مربع حاصل از دو مثلث ایجاد شده با قطر مربع

3= طول یک ضلع مربع

محیط مربع= طول یک ضلع ×4

محیط =3×4=12

• مثال5: اندازه محیط یک زمین تنیس به شکل مربع و با اندازه قطر 8 متر، چند است؟

میدانیم محیط برابر است با اندازه هر قطر ضربدر (2√2).

اندازه قطر=8

حاصلضرب 2 در رادیکال 2=2 × 1.41  =2.82

محیط = اندازه قطر ×2.82

محیط زمین تنیس =8 × 2.82= 22.56